روائع الجبر

موضوع: روائع الجبر الأحد أغسطس 16, 2009 8:09 pm

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
السؤال ( 1 )
أثبت أن مجموع مكعبات أية ثلاثة أعداد طبيعية متتالية يقبل القسمة على 9

وهذا حل السؤال
مقدم من الأستاذ الفاضل
مجدي الصفتي

وهذا حل أخر
مقدم من الأستاذ الفاضل
سامح الدهشان

بفرض أن الأعداد هي : ن ، ن + 1 ، ن + 2 لكل ن تنتمي لـ ط

المطلوب إثبات أن : ن^3 + ( ن+ 1 )^3 + ( ن + 2 )^3

يقبل القسمة علي 9

نفرض أن المقدار ك = ن^3 + ( ن+ 1 )^3 + ( ن + 2 )^3

نثبت صحة العلاقة عند ن = 1

ك = 1 + 8 + 27 = 36 تقبل القسمة علي 9

نفرض أن العلاقة صحيحه عند ن = م

أي أن : م^3 + ( م+ 1 )^3 + (م + 2 )^3 = 9 هـ

نحاول إثبات صحة العلاقة عند ن = م + 1 إي إثبات أن

( م+ 1 )^3 + ( م + 2 )^3 + ( م + 3 )^3 تقبل القسمة علي 9

الطرف الأيمن = م^3 + ( م+ 1 )^3 + (م + 2 )^3 + ( م + 3 )^3 - م^3

= 9 هـ + [ ( م + 3 - م ) ( م^2 + 6 م + 9 + م^2 + 3 م + م^2 ]

= 9 هـ + [ 3 ( 3 م^2 + 9 م + 9 ) ]

= 9 هـ + 9 ( م^2 + 3 م + 3 )

= 9 [ هـ + ( م^2 + 3 م + 3 ) ] = 9 ل المقدار يقبل القسمة علي 9

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
السؤال ( 2 )

روائع الجبر 418292812

وهذا حل السؤال
مقدم من الأستاذ الفاضل
سامح الدهشان

المقدار = 3^2ن - 1 = 9^ن - 1 = ( 1 + 8 )^ن - 1

==> ( 1 + 8 )^ن = 1 + 8 ن + ن ق2 ( 8 )^2 + ن ق 3 ( 8 )^3

+ ..................... + (8 )^ن - 1

بالتالي نجد بعد جمع 1 + ( - 1 ) أن كل حد من الحدود يقبل القسمة على 4

وهذا حل آخر للسؤال
مقدم من الأستاذ الفاضل
مجدي الصفتي